El problema de π-geografía y el problema de Hurwitz
Main Article Content
Keywords
recubrimiento ramificado, valor crítico, característica de Euler, fórmula de Riemann–Hurwitz, Hurwitz problem, monodromía
Resumen
Sea d ≥ 2 un entero y una partición de d. En este artículo se estudia el problema de para qué pares de enteros (a, b) existe un recubrimiento ramificado F : ∑ → D2 = {z ∈ C : |z| 6 ≤ 1} que tenga a valores críticos, x(∑) = −b, y tal que la monodromía que se obtiene cuando se recorre la frontera de D2 en sentido positivo pertenece a la clase de conjugancia en el grupo simétrico Sd determinada por la partición π. Se estudian cuatro variantes de este problema: i) sin requerir conexidad del dominio, ii) requiriendo conexidad del dominio, iii) sin requerir conexidad del dominio, pero exigiendo que el recubrimiento sea semiestable, iv) requiriendo que el dominio sea conexo y que el recubrimiento sea semiestable. Se obtienen soluciones completas de las primeras dos variantes, y se obtiene una solución parcial de las variantes restantes. Además se explica cómo el interés por estos problemas surge del estudio de una pregunta análoga para funciones cuyo dominio es 4-dimensional.
MSC: 11M35
Descargas
Referencias
[2] A. Hurwitz. ¨U ber Riemann’sche Fl¨achen mit gegeben Verzweigungspunkten. Mathematische Annalen, ISSN 0025–5831, 39(1), 1–61 (1891).
[3] A. Hurwitz. ¨U ber die Anzahl der Riemann’schen Fl¨achen mit gegeben Verzweigungspunkten. Mathematische Annalen, ISSN 0025–5831, 55(1), 53–66 (1901).
[4] Stefano Monni, Jun S. Song and Yun S. Song. The Hurwitz enumeration problem of branched covers and Hodge integrals. Journal of Geometry and Physics, ISSN 0393–0440, 50(1–4), 223–256 (2004).
[5] C. L. Ezell. Branch point structure of covering maps onto nonorientable surfaces. Transactions of the American Mathematical Society, ISSN 0002–9947, 243, 122–133 (1978).
[6] R. Thom. L’equivalence d’une fonction diff´erentiable et d’un polinome. Topology 3 suppl. 2, 297–307 (1965).
[7] A. G. Khovanskii and S. Zdravkovska. Branched covers of S2 and braid groups. Journal of Knot Theory and Its Ramifications, ISSN 0218–2165, 5(1), 55–75 (1996).
[8] K. Baranski. On realizability of branched coverings of the sphere. Topology and its Applications, ISSN 0166–8641, 116(3), 279–291 (2001).
[9] Allan L. Edmonds, Ravi S. Kulkarni and Robert E. Stong. Realizability of branched coverings of surfaces. Transactions of the American Mathematical Society, ISSN 0002–9947, 282(2), 773–790 (1984).